Menguraikan Geometri Musik: Masalah Matematika Berusia 70 Tahun Terpecahkan
Para peneliti telah membuat kemajuan signifikan dalam geometri spektral dengan membuktikan kasus khusus dugaan Pólya terkait dengan nilai eigen sebuah piringan. Karya mereka, memadukan keanggunan teoretis dengan potensi penerapan praktis, menyoroti nilai universal dan keindahan artistik penelitian matematika. Kredit: SciTechDaily.com
Seorang profesor dan kolaboratornya telah membuktikan dugaan Pólya untuk nilai eigen sebuah disk, sebuah masalah rumit dalam matematika.
Apakah mungkin untuk menyimpulkan bentuk drum dari bunyi yang dihasilkannya?
Pertanyaan seperti inilah yang sering ditanyakan oleh Iosif Polterovich, seorang profesor di Departemen Matematika dan Statistika di Université de Montréal. Polterovich menggunakan geometri spektral, cabang matematika, untuk memahami fenomena fisik yang melibatkan perambatan gelombang.
Terobosan dalam Dugaan Matematika
Musim panas lalu, Polterovich dan kolaborator internasionalnya—Nikolay Filonov, Michael Levitin, dan David Sher—membuktikan kasus khusus dari dugaan terkenal dalam geometri spektral yang dirumuskan pada tahun 1954 oleh ahli matematika terkemuka Hongaria-Amerika George Pólya.
Dugaan ini didasarkan pada estimasi frekuensi drum bundar atau, dalam istilah matematika, nilai eigen dari sebuah disk.
Grafik ini menunjukkan fungsi Bessel, di mana titik-titik tersebut sesuai dengan frekuensi suara dari drum bundar. Kredit: Michael Levitin
Pólya sendiri mengkonfirmasi dugaannya pada tahun 1961 untuk domain yang membentuk bidang, seperti segitiga dan persegi panjang. Hingga tahun lalu, dugaan tersebut hanya diketahui untuk kasus-kasus tersebut. Disk tersebut, meskipun tampak sederhana, tetap sulit dipahami.
“Bayangkan sebuah lantai tak terbatas yang dilapisi ubin dengan bentuk yang sama yang menyatu untuk mengisi ruangan,” kata Polterovich. “Bisa dibuat ubin dengan kotak atau segitiga, tapi tidak dengan cakram. Disk sebenarnya bukan bentuk yang bagus untuk dibuat ubin.”
Universalitas dan Dampak Matematika
Dalam artikel yang diterbitkan pada Juli 2023 di jurnal matematika Penemuan matematikapara peneliti menunjukkan bahwa dugaan Pólya benar untuk disk tersebut, sebuah kasus yang dianggap sangat menantang.
Meskipun hasilnya pada dasarnya bernilai teoritis, metode pembuktiannya dapat diterapkan dalam matematika komputasi dan komputasi numerik. Para penulis sekarang sedang menyelidiki jalan ini.
Iosif Polterovich
“Meskipun matematika adalah ilmu dasar, dalam beberapa hal matematika mirip dengan olahraga dan seni,” kata Polterovich.
“Mencoba membuktikan dugaan lama adalah sebuah olahraga. Menemukan solusi yang elegan adalah sebuah seni. Dan dalam banyak kasus, penemuan matematika yang indah ternyata bermanfaat—Anda hanya perlu menemukan penerapan yang tepat.”
Referensi: “Dugaan Pólya untuk bola Euclidean” oleh Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich dan David A. Sher, 5 Juni 2023, Temuan matematis.
DOI: 10.1007/s00222-023-01198-1
RisalahPos.com Network
Related posts
# PARTNERSHIP
